Định nghĩa

△ A B C {\displaystyle \bigtriangleup ABC} ∽ {\displaystyle \backsim } △ A ′ B ′ C ′ {\displaystyle \bigtriangleup A'B'C'} ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } A B A ′ B ′ = B C B ′ C ′ = A C A ′ C ′ = k {\displaystyle {\frac {AB}{A'B'}}={\frac {BC}{B'C'}}={\frac {AC}{A'C'}}=k} ; ∠ A = ∠ A ′ , ∠ B = ∠ B ′ , ∠ C = ∠ C ′ {\displaystyle \angle A=\angle A',\angle B=\angle B',\angle C=\angle C'}

ᔕ là kí hiệu đồng dạng, nó giống một dấu ngã ngược và đúng ra nó là chữ S nằm ngang. Nhưng nếu viết S đứng thì sẽ dễ gây nhầm lẫn với các kí hiệu khác nên người ta làm ngang chữ S.

Để gõ được ký hiệu này, có thể dùng ký tự sau đây khi sử dụng các trình gõ văn bản như Word,...: ᔕ

Việc đưa ra các trường hợp đồng dạng dựa trên cách quy về định nghĩa.

Hai tam giác bất kì △ A B C {\displaystyle \bigtriangleup ABC} và △ A ′ B ′ C ′ {\displaystyle \bigtriangleup A'B'C'} được gọi là đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng thỏa mãn một trong các trường hợp sau:

1.Cạnh- Cạnh- Cạnh (c.c.c)

nếu ta có A B A ′ B ′ = B C B ′ C ′ = A C A ′ C ′ = k {\displaystyle {\frac {AB}{A'B'}}={\frac {BC}{B'C'}}={\frac {AC}{A'C'}}=k} với k là hệ số tỉ lệ

2.Cạnh-Góc-Cạnh (c.g.c)

nếu ta có A B A ′ B ′ = B C B ′ C ′ = k {\displaystyle {\frac {AB}{A'B'}}={\frac {BC}{B'C'}}=k} và có góc hợp bởi 2 cạnh kể trên tương ứng của 2 tam giác bằng nhau, ở đây là góc B và góc B'.

3.Góc-Góc (g.g)

nếu ta có A=A' và B=B' thì 2 tam giác đồng dạng, vì theo Định lý tổng 3 góc trong tam giác thì hiển nhiên C=C'.

Tam giác vuông

Riêng với tam giác vuông ta có các trường hợp sau:

1.Góc nhọn

Nếu 2 tam giác vuông có 2 góc nhọn tương ứng bằng nhau thì chúng được gọi là đồng dạng với nhau vì đương nhiên trừ góc vuông ở cả hai tam giác vuông thì góc nhọn còn lại đương nhiên phải bằng nhau.

2.Cạnh- cạnh

Nếu 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông này tương ứng tỉ lệ với 2 cạnh của tam giác vuông kia thì 2 tam giác vuông ấy đồng dạng với nhau, vì trong tam giác vuông góc xen giữa 2 cạnh ấy chính là góc vuông và chúng luôn bằng nhau.

3.Cạnh huyền- cạnh góc vuông

Nếu một cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này tương ứng tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì 2 tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Định lý này có thể chứng minh bằng định lý Py-ta-go.

Các tam giác đồng dạng có các tính chất sau:

1.Đối xứng

△ A B C ∽△ A ′ B ′ C ′ ⇔△ A ′ B ′ C ′ ∽△ A B C {\displaystyle \bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup A'B'C'\Leftrightarrow \bigtriangleup A'B'C'\backsim \bigtriangleup ABC}

2.Phản xạ

2 tam giác bằng nhau thì đồng dạng với nhau, tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng, 2 tam giác đồng dạng với nhau chưa chắc bằng nhau. Tính chất này còn được phát biểu theo một cách khác là mọi tam giác đều đồng dạng với chính nó.

3.Bắc cầu

△ A B C ∽△ A ′ B ′ C ′ {\displaystyle \bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup A'B'C'} , △ A ′ B ′ C ′ ∽△ A ″ B ″ C ″ ⇔△ A B C ∽△ A ″ B ″ C ″ {\displaystyle \bigtriangleup A'B'C'\backsim \bigtriangleup A''B''C''\Leftrightarrow \bigtriangleup ABC\backsim \bigtriangleup A''B''C''}

4. 2 tam giác đồng dạng có độ dài 2 đường trung tuyến, phân giác, đường cao và chu vi tương ứng tỉ lệ với nhau và bằng tỉ số đồng dạng. Tỉ số diện tích của 2 tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Đường trung trực không liên quan đến tam giác đồng dạng.

Các tam giác đồng dạng có định lý sau:

Định lý Ta-lét: Kẻ một đường thẳng song song với một cạnh bất kì của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó tạo trực tiếp trên tam giác cũ một tam giác mới đồng dạng với một tam giác đã cho.

Tất cả các kiến thức này đều ghi trong SGK Toán lớp 8 tập 2.